School

Намиране на рационални корени на полиноми - ако полиномът $A(x)$ има рационални корени, т.е. корени от вида $\frac{p}{q}$ (където $\gcd (p;q)=1$), то числителят $p$ е делител на свободния член $a_0$, а знаменателят $q$ е делител на старшия коефициент $a_n$

Доказателство:

$$A\left(\frac{p}{q}\right)=a_n{\left(\frac{p}{q}\right)}^n+a_{n-1}{\left(\frac{p}{q}\right)}^{n-1}+\cdots +a_1\left(\frac{p}{q}\right)+a_0=0$$

Умножаваме двете страни по $q^n$.

$$a_n{p}^n+a_{n-1}{p}^{n-1}q+\cdots a_{1}p{q}^{n-1}+a_0{q}^n=0$$

Събираемите с коефициенти $a_n$ до $a_1$ очевидно се делят на $p$. Тъй като $0$ се дели на $p$, то последното събираемо $a_0{q}^n$ също трябва да се дели на $p$. Тъй като $p$ и $q$ са взаимно прости, $p$ трябва да е делител на $a_0$. Аналогично за $q$ и събираемите с коефициенти $a_{n-1}$ до $a_0$ включително

а) отсяване на кандидати за корени - ако несъкратимата дроб $\frac{p}{q}(p,q\in \mathbb{Z})$ е корен на полинома $A(x)$, то за всяко число $m\in \mathbb{Z}$ е вярно, че $(p-mq)|A(m)$

• ако дадено число $\frac{p}{q}$ не спазва това свойство, то не може да бъде корен на полинома $A(x)$

Решаване на реципрочни уравнения от четна степен (РУЧС) - полином с цели коефициенти от следния вид, където $p$ е някакво цяло число

$$A(x)=a_n{x}^{2n}+a_{n-1}{x}^{2n-1}+\cdots +a_1{x}^{n+1}+a_0{x}^n+a_{1}p{x}^{n-1}+a_2{p}^2{x}^{n-2}+\cdots +a_{n-1}{p}^{n-1}x+a^n{p}^n=0$$

а) разпознаване на РУЧС

• разликата в индексите на първите $n+1$ коефициента и степента на $x$ е винаги равна на $n$
• първо се намира средния член в полинома
• коефициентите вдясно от средния член се разлагат на множители и се гледа дали съдържат последователни степени на даден общ множител $p$
• гледа се дали произдведението на останалите множители на всеки коефициент вдясно (т.е. без степените на $p$) съвпадат с коефициента на огледалния член спрямо средния член

б) корени на РУЧС

• числото 0 никога не е корен на дадено РУЧС
• ако $x_0$ е корен на дадено РУЧС, то $\frac{p}{x_0}$ също е корен на въпросното РУЧС

в) решаване на РУЧС

• членовете с огледални коефициенти се групират

$$a_n(x^{2n}+p^n)+a_{n-1}(x^{2n-1}+p^{n-1}x)+\cdots +a_1(x^{n+1}+p{x}^{n-1})+a_0{x}^n=0$$

• разделя се на $x^n$

$$a_n\left(x^n+\frac{p^n}{x^n}\right)+a_{n-1}\left(x^{n-1}+\frac{p^{n-1}}{x^{n-1}}\right)+\cdots +a_1\left(x+\frac{p}{x}\right)+a_0=0$$

• полага се $y=\left(x+\frac{p}{x}\right)$
• останалите скоби се изразяват като се вдига $y$ на съответната степен

г) симетрично РУЧС: $p=1$

• коефициентите отляво и отдясно на средния член съвпата напълно с огледалните си

Решаване на реципрочни уравнения от нечетна степен (РУНС) - полином с цели коефициенти от следния вид, където $p$ е някакво цяло число

$$A(x)=a_n{x}^{2n+1}+a_{n-1}{x}^{2n}+\cdots +a_1{x}^{n+2}+a_0{x}^{n+1}+a_{0}p{x}^n+a_1{p}^3{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}{p}^{2n-1}x+a_n{p}^{2n+1}$$

а) разпознаване на РУНС

• коефициентите във втората половина от полинома отговарят огледално на коефициентите от първата половина, но умножение по последователни нечетни степени на $p$

б) корени на РУНС

• числото 0 никога не е корен на дадено РУНС
• числото $-p$ винаги е корен на дадено РУНС

в) решаване на РУНС - свеждане до РУЧС

• уравнението се разлага в следния вид, защото $-p$ винаги е корен $$A(x)=(x+p)Q(x)=0$$
• полиномът $Q(x)$ е гарантиран да бъде РУЧС от степен $2n$ и вече се използва метода за решаване на РУЧС

г) симетрично РУНС: $p=1$

• коефициентите в лявата половината и в дясната половина на полинома съвпадат напълно огледално

Уравнения от вида

$$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=A{x}^2,ab=cd$$

а) решаване - чрез полагане на $y=x+\frac{ab}{x}$